Giải nhanh bài toán tính khoảng cách trong không gian

Đó là lưu ý của thầy Nguyễn Thanh Tùng dành cho các sĩ tử đang ôn thi môn Toán, kì thi tốt nghiệp THPT 2021.

Theo đó, thầy Tùng cho biết, trong hình học không gian, có 6 khái niệm khoảng cách bao gồm:

1. Khoảng cách giữa 2 điểm

2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

4. Khoảng cách từ 1 điểm xuống 1 mặt phẳng

5. Khoảng cách từ 1 điểm xuống một đường thẳng

6. Khoảng cách từ đường thẳng xuống mặt phẳng

Tuy nhiên trên thực tế, chúng ta chỉ cần quan tâm tới 2 khái niệm khoảng cách, đó là khoảng cách từ 1 điểm xuống 1 mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Các khái niệm còn lại gần như không đề cập tới, và nếu có thì cũng chuyển về khái niệm số (3) hoặc (4).

Điều này được thầy Nguyễn Thanh Tùng lí giải như sau:

Khái niệm khoảng cách giữa 2 điểm chính là độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

Xét khoảng cách giữa 2 mặt phẳng, ta thấy trong không gian, 2 mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: song song, trùng nhau và cắt nhau. Hai mặt phẳng cắt nhau thì không có khái niệm khoảng cách; 2 mặt phẳng trùng nhau thì khoảng cách bằng 0. Do vậy, khi nói đến khoảng cách giữa 2 mặt phẳng thì chắc chắn đề bài đang xét đến tình huống song song.

Theo đó, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được xác định bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này xuống mặt phẳng kia. Do đó, khái niệm (2) được quy về khái niệm (4).

Khái niệm từ 1 điểm xuống 1 đường thẳng là khoảng cách giữa điểm và hình chiếu của nó lên đường thẳng.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng: Trong không gian, có 4 vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau. 2 đường thẳng cắt nhau thì không có khái niệm khoảng cách; trùng nhau thì khoảng cách bằng 0. Như vậy khi nói đến khoảng cách giữa 2 đường thì sẽ xảy ra 2 tình huống:

Thứ nhất, 2 đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách được tính bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng này xuống đường thẳng kia.

Thứ hai, nếu 2 đường thẳng chéo nhau, chúng ta có thể quy về tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, hoặc có những tình huống ngoại lệ thì không cần quy về mà vẫn tính được trực tiếp khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng được xét trong tình huống đường thẳng song song với mặt phẳng (do đường và mặt cắt nhau ko có khái niệm khoảng cách, đường nằm trên mặt thì khoảng cách bằng 0). Khi đó, khoảng cách được tính bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng xuống mặt phẳng, như vậy ta đã quy về trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Như vậy, nếu câu hỏi trong đề thi liên quan đến phần khoảng cách thì thông thường sẽ quy về hai trường hợp: đó là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau hoặc khoảng cách từ một điểm xuống 1 mặt phẳng. Tuy nhiên khoảng cách từ một điểm xuống một mặt phẳng là quan trọng nhất và thường gặp hơn cả, vì hầu hết các cách hỏi đều quy về tính khoảng cách giữa 1 điểm đến mặt phẳng.

Trong bài giảng dưới đây, thầy Tùng sẽ giúp thí sinh giải quyết triệt để lớp câu hỏi liên quan tới khoảng cách từ 1 điểm xuống 1 mặt phẳng.

Học sinh có thể tham khảo tại đây: