Bài toán “sát thủ” của IMO 2017 - Chỉ duy nhất 1 thí sinh người Úc giải được

Dưới đây là bài phân tích, bình luận bài toán “sát thủ” đề thi IMO 2017 do TS. Trần Nam Dũng (Phó TBT Tạp chí Toán học Pi) gửi tới báo Dân trí:

Khi kết quả chấm thi IMO 2017 được cập nhật sau ngày chấm thứ nhất, một điều được mà mọi người chú ý là kết quả điểm của bài 3 và bài 6, hai bài “quyết định vàng” của kỳ thi. Theo thầy Nguyễn Khắc Minh (chuyên viên Cục khảo thí - Bộ Giáo dục và Đào tạo, phụ trách mảng Toán Olympic đồng thời là thành viên ban chấm thi IMO 2017) thì khi chọn đề, bài 3 được đánh giá là “dễ” hơn so với bài 6.

Tuy nhiên cho đến nay, trong khi bài 6 đã có nhiều điểm 7 (trong đó riêng đoàn Hàn Quốc đã có 3 điểm 7) thì ở bài 3, chỉ có 1 điểm 7 duy nhất của Úc và một vài điểm 1, còn lại toàn 0. Vậy bài toán 3 là bài toán thế nào mà “sát thủ” vậy?

Bài toán 3, do Áo đề nghị, là một bài toán hình tổ hợp thể loại đuổi bắt. Riêng việc đọc đề và hiểu được yêu cầu của đề bài đã là không đơn giản.

Điểm khó của bài toán là dự đoán kết quả và định hướng đi tiếp thế nào. Chúng ta phải hiểu rằng đường đi của con thỏ cô thợ săn không biết, thiết bị định vị cũng được đặt ngẫu nhiên, chỉ biết là cách xa con thỏ không quá 1. Trong khi đó con thỏ biết cô thợ săn ở đâu.

Nếu dự đoán câu trả lời khẳng định, bài toán sẽ rất khó vì có hai lần bất định. Nếu dự đoán câu trả lời là phủ định, bài toán sẽ dễ chịu hơn vì theo logic về phủ định, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp mà con thỏ có thể chạy xa người thợ săn, có nghĩa là ta có thể chủ động đặt thiết bị định vị ở đâu tuỳ ý (chỉ cần thoả mãn điều kiện khoảng cách). Đây chính là ý tưởng chính trong lời giải dưới đây dựa theo lời giải vắn tắt của oneplusone trên diễn đàn artofproblemsolving. (Theo thông tin mà chúng tôi được biết oneplusone chính là nickname trên diễn đàn của Lim Jeck, học sinh người Singapore đã từng 5 lần dự Olympic Toán Quốc tế với 3 huy vàng, 1 huy chương bạc, 1 huy chương đồng, trong đó năm 2012, anh đạt điểm tuyệt đối 42/42.)

Lời giải xem tại đây.

Nhận xét:

Đây là một bài toán khó. Riêng việc đọc để hiểu yêu cầu bài toán đã là cả một vấn đề. Tổng hợp trên diễn đàn artofproblemsolving các ý kiến đánh giá thì thấy các từ “bài toán quá khó và không thể giải được trong phòng thi!” “bài toán khủng!” “khó lòng mà giải được trong phòng thi!”. Nhưng điểm khó ở bài toán này là ở định hướng chứ không phải là kỹ thuật. Nếu xác định đúng hướng (câu trả lời là “không”), ta có thể tiếp tục suy nghĩ đến việc xây dựng chiến thuật di chuyển của thỏ để “cao chạy xa bay”. Điểm gây rắc rối nhất ở đây là thiết bị định vị.

Chú ý rằng trong trường hợp câu trả lời là phủ định, ta có thể chủ động đặt thiết vị định vị ở đâu tuỳ ý (điều mà ta sẽ không có được nếu “dự định” chứng minh câu trả lời khẳng định). Chính vì thế mà trong lời giải của mình oneplusone đã trao quyền chủ động cho con thỏ. Có thể nói đây là điểm mấu chốt để giải quyết được bài toán.

Khi đã có định hướng xây dựng chiến thuật chạy xa, ta có thể bắt đầu từ những khoảng cách nhỏ, ví dụ, 2, 3, 4 để từ đó tìm chiến thuật tổng quát cho thỏ. Đó cũng là chiến thuật giải chung cho các bài toán đuổi bắt.

Cuối cùng ta có thể nói thêm là ở bài này khó có cơ hội kiếm điểm thành phần.

TS. Trần Nam Dũng