Bước qua chướng ngại 30 năm của nền toán học thế giới

Công trình toán học gây tiếng vang tức thì

Tháng 4/2004, Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon công bố dưới dạng tiền ấn phẩm và đưa lên mạng Internet công trình toán học dày 100 trang viết bằng tiếng Pháp nhan đề: Le lemme fondamental pour les groupes unitaires (Bổ đề cơ bản cho các nhóm unita/the fundamental lemma for unitarian groups).

Công trình đi vào một vấn đề thời sự toán học, giải quyết một bài toán lớn từng được nhiều nhà toán học hàng đầu trên thế giới lao vào chứng minh trong suốt 20 năm nhưng chưa ai thành công, cho nên ngay lập tức gây tiếng vang rộng khắp.

Ngô Bảo Châu được mời sang Nhật Bản trình bày các kết quả mới, rồi sau đó, sang Canada dự Hội nghị quốc tế về các dạng tự đẳng cấu và công thức vết tại Viện Fields. Đến hội nghị có nhiều nhà toán học nổi tiếng từ các đại học lớn trên thế giới. Ngô Bảo Châu được mời đọc báo cáo trong phiên họp toàn thể đầu tiên.

Sau khi nghe anh, chính Robert Langlands, nhà toán học đã từng đưa ra Chương trình Langlands (Langlands Program) thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học xuất sắc nhất hành tinh trong mấy chục năm qua, gặp ngay Ngô Bảo Châu, mời anh sang làm việc dài hạn tại Đại học Princeton, một đại học hàng đầu ở Mỹ, nơi Albert Einstein từng giảng dạy.

Gạt bỏ chướng ngại lì lợm cho giới toán học quốc tế

Do đã có kinh nghiệm trong việc nghiên cứu thành công Bổ đề cơ bản của Jacquet, Ngô Bảo Châu mạnh dạn bắt tay nghiên cứu Bổ đề cơ bản của Langlands. Sau hai năm, anh thực hiện được một bước đột phá vào mùa hè 2003, khi trở về Hà Nội “phượng đỏ bờ đê, ve kêu hàng sấu” để thăm cha mẹ tại ngôi nhà xinh xắn mới xây nhìn sang hồ Thủ Lệ biếc xanh. Những tháng tiếp theo, kết hợp với một số kết quả mà G. Laumon đã đạt được trước đó, hai tác giả hoàn thành chứng minh Bổ đề cơ bản cho các nhóm unita (the fundamental lemma for unitarian groups).

Công trình của Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon chứng minh thành công “bổ để” này, gạt bỏ một vật chướng ngại lì lợm trên dòng chủ lưu của toán học đương đại, lập tức gây được sự chú ý của giới toán học quốc tế. Hai tác giả giúp giới toán học vượt qua một vật cản để tiến xa hơn trên con đường A. Wiles đã từng đi qua khi ông chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura.

Với kết quả Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon đạt được, giới toán học quốc tế đã bước thêm một bước tiến tới chứng minh các giả thuyết khác trong Chương trình Langlands (Langlands Program), thực hiện giấc mơ ấp ủ của nhiều thế hệ các nhà nghiên cứu nhằm tìm kiếm sự thống nhất vĩ đại huy hoàng trong toán học.

Không phải ngẫu nhiên khi chính A. Wiles, “nhà toán học lừng danh nhất thế kỷ 20”, tự mình đứng ra tiến cử Ngô Bảo Châu và Gérard Laumon nhận Giải thưởng Nghiên cứu của Viện Toán học Clay dành cho công trình toán học xuất sắc nhất thế giới năm 2004. Cũng không phải dễ dàng khi người Mỹ mời anh sang nước này làm việc với mức lương hơn 200 nghìn USD/năm.

Làm được việc chính Langlands cũng thất bại

Để hiểu được ý nghĩa của thành công trên, ta hãy quay về với quá trình chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, hay còn gọi là Định lý lớn Fermat. Định lý này được Pierre de Fermat, nhà toán học Pháp kiệt xuất, nêu lên vào thế kỷ 17, nhưng không để lại chứng minh! Và, vì thế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình xⁿ + yⁿ = zⁿ không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.

Định lý lớn Fermat khiến ta nhớ tới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x² + y² = z² (nếu trong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).

Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôi qua, không ai chứng minh được Định lý lớn Fermat!

Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán học Nhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài (về sau gọi là Giả thuyết Taniyama - Shimura) rằng mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giải quyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếp cận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốn tách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất.

Trong những năm 1960, R. Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết cấu thành Chương trình Langlands.

Nếu những giả thuyết mang màu sắc tư biện ấy, vào một ngày đẹp trời nào đó, được chứng minh, thì sẽ mang lại những kết quả vô cùng to lớn cho toán học. Khi ấy, bất cứ một bài toán chưa giải được trong một lĩnh vực nào đều có thể biến đổi thành một bài toán tương tự trong một lĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹ thuật mới để giải nó.

Thế nhưng, cho đến lúc bấy giờ, thì chưa có một giả thuyết nào trong chương trình đầy tham vọng của Langlands được chứng minh, kể cả giả thuyết nổi tiếng nhất là Giả thuyết Taniyama - Shimura.

Mùa thu năm 1984, tại một hội nghị toán học tổ chức trong khu Rừng Đen ở CHLB Đức, Gerhard Frey đi tới một kết luận đầy kịch tính, rằng nếu chứng minh được Giả thuyết Taniyama - Shimura, thì cũng có nghĩa là chứng minh được Định lý lớn Fermat, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.

Kết luận đó kích thích mạnh lòng “cuồng nhiệt” của Andrew Wiles, một nhà toán học người Anh làm việc tại Mỹ. A. Wiles lặng lẽ tự giam mình bảy năm liền trên một gian gác xép, cam lòng chịu cảnh “lưu đày cô đơn” để bí mật tìm kiếm lời giải cho bài toán “xuyên thế kỷ”!

Để rồi trong ba phiên họp liên tiếp vào mấy ngày 21, 22 và 23/6/1993 tại Viện Isaac Newton ở Cambridge, Vương quốc Anh, quê hương A. Wiles, ông ta viết chi chít trên hai tấm bảng lớn, đột ngột thông báo chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura mà Định lý lớn Fermat chỉ là một hệ quả. Lúc ấy, nhiều người thành thật nghĩ rằng đó là “buổi thông báo toán học quan trọng nhất thế kỷ 20”.

Báo Guardian ở Anh cũng như báo Le Monde ở Pháp rút tít lớn trên trang nhất. Tờ People coi A. Wiles là một “người hấp dẫn trong năm” sánh ngang Công nương Diana! Một tập đoàn may sẵn quốc tế mời Wiles quảng cáo cho các mẫu quần áo đàn ông! Thế nhưng...

Nhà toán học Nick Katz, một người bạn của Wiles, bỗng phát hiện ra một lỗi nghiêm trọng nhưng hết sức tinh vi, khó thấy, trong bản thảo dày 200 trang của Wiles. Thế là, than ôi, dường như bất cứ ai cả gan lao vào chứng minh Định lý lớn Fermat, đều không tránh khỏi cuối cùng chuốc lấy... “thất bại định mệnh”! Và bài toán hóc hiểm kia vẫn cứ kiêu hãnh nằm nguyên tại chỗ như một tòa... “lâu đài tăm tối”!

Nhưng là con người gang thép, Wiles không cam chịu “bó giáo quy hàng” như bao bậc “tiền bối”! Suốt 14 tháng trời tiếp theo, qua những ngày dài “đau đớn, tủi nhục và gần như tuyệt vọng”, Wiles đã sửa chữa, hoàn thiện chứng minh, rồi trao bản thảo hoàn chỉnh cho người đầu tiên là vợ ông - bà Nada - để mừng sinh nhật bà, người đã khích lệ ông trong những phút giây “đen tối nhất”...

A. Wiles thành công vang dội khi chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, chấm dứt 358 năm căng thẳng trong giới toán học quốc tế. Tuy nhiên, một kết quả mà những người “ngoại đạo” ít chú ý tới, nhưng lại có ý nghĩa to lớn hơn nhiều, đó là chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura.

Giả thuyết Taniyama - Shimura được chứng minh có nghĩa hòn đá tảng của Chương trình Langlands quả thật là vững chắc. Chương trình này mặc nhiên trở thành bản thiết kế cho tương lai của toán học.

Một loạt giả thuyết toán học của Chương trình này liên kết nhiều đối tượng có vẻ rất khác nhau trong các lĩnh vực toán học như lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết các dạng tự đẳng cấu... ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học hàng đầu, và dần dần trở thành dòng chủ lưu của toán học đương đại.

Việc gạt bỏ những vật cản trên dòng chảy chính ấy đã mang lại vinh quang cho nhiều nhà toán học: A. Wiles chứng minh thành công Định lý lớn Fermat, được tặng Giải thưởng Nghiên cứu Clay. V. Drinfeld thiết lập được tương ứng Langlands cho trường hàm trong trường hợp số chiều bằng 2; L. Lafforgue giải quyết trong trường hợp tổng quát; cả hai nhà toán học trẻ ấy đều được tặng Huy chương Fields.

Năm 1987, Langlands và cộng sự phỏng đoán về một tương tự tương ứng cho trường hàm trên trường phức, về sau, được gọi là tương ứng Langlands hình học. Để chứng minh được sự tồn tại của tương ứng đó, phải giải quyết một bài toán lớn mà lúc đầu Langlands chưa thấy hết mức độ phức tạp của nó, nên mới gọi là Bổ đề cơ bản.

Thuật ngữ bổ đề (lemma) thường dùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, một kết quả kỹ thuật giản đơn cần thiết trên con đường chứng minh một định lý đích thực. Thế nhưng, trong trường hợp này, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một “bổ đề” khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - kể cả cá nhân Langlands - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại!