Cách giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Điều này không chỉ giúp các em hiểu bản chất của một bài toán mà còn giải quyết được những câu hỏi liên quan đến phần lí thuyết.

Theo đó, định nghĩa min, max của một hàm số được đưa ra như sau:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên D,

Nếu f(x) ≤ M ∀x∈D, và ∃x0∈D sao cho f(x0)=M, thì M = max f(x)

Nếu f(x) ≥ m ∀x∈D, và ∃x0∈D sao cho f(x0)=m, thì m = min f(x)

Để tìm min, max của một hàm số, các em thực hiện theo 2 bước:

Bước 1: Tìm các giá trị xi sao cho f(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 2: Xét các trường hợp để tìm giá trị min, max

TH1: Nếu D thuộc đoạn [a,b] và hàm f(x) liên tục trên D, ta đi tính các giá trị f(a), f(b), f(xi).

Sau khi tính xong, các em so sánh các giá trị này, giá trị nào nhỏ nhất thì đó là min của hàm số, giá trị nào lớn nhất chính là max của hàm số.

TH2: Nếu D không thuộc đoạn [a,b] hoặc f(x) không liên tục trên D, ta sẽ lập bảng biến thiên. Bảng biến thiên này chính là hình ảnh phác họa của đồ thị. Với hình ảnh phác họa của đồ thi, các em sẽ nhìn thấy đâu là điểm cao nhất và đâu là điểm thấp nhất. Điểm cao nhất ứng với GTLN, điểm thấp nhất ứng với GTNN.

Như vậy, ở trường hợp này, các em chỉ cần dựa vào bảng biến thiên và đưa ra kết luận.

Với các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, thầy Tùng đưa ra 3 lưu ý:

1. Hàm số liên tục trên [a,b] đều có GTLN, GTNN
2. Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trên [a,b] thì min f(x) = f(a), max f(x) = f(b)

Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trên [a,b] thì min f(x) = f(b), max f(x) = f(a).

3. Trong nhiều bài toán, các em có thể tìm min, max bằng máy tính Casio, với tổ hợp phím MODE 7 (TABLE). Tuy nhiên, việc dùng Casio trong khi tìm giá trị min, max sẽ gây ra hạn chế khi gặp những số liệu xấu.

Trong bài giảng dưới đây, thầy Nguyễn Thanh Tùng (giáo viên Toán tại HOCMAI) đưa ra một số ví dụ cụ thể, cùng với đó là các dạng câu hỏi thường gặp trong bài toán GTLN, GTNN và hướng dẫn cách giải quyết cụ thể cho từng dạng câu hỏi này, rhí sinh quan tâm có thể theo dõi: