Cách giải "bài toán khiến hàng ngàn học sinh nước Anh nổi giận"

Trong tuần vừa qua, hàng ngàn học sinh nước Anh đã tức giận trước một bài toán trong kỳ thi GCSE (kì thi chính mà các học sinh Anh phải tham gia để hoàn tất giai đoạn đầu tiên của bậc giáo dục trung học). Các em yêu cầu phải hạ ba-rem điểm thi vì bài toán hóc búa như thế thật là “bất công”.

“Bài toán hóc búa” này ra như sau: “Có n chiếc kẹo trong một chiếc túi. Sáu chiếc màu cam. Số kẹo còn lại màu vàng. Hannah lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo trong túi. Cô ăn chiếc kẹo này. Hannah lại lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo khác, và ăn tiếp chiếc kẹo đó. Giả sử xác suất Hannah ăn hai chiếc kẹo màu cam là 1/3. Chứng minh rằng (n² – n – 90 ) = 0”.

“Các bạn hãy đọc câu hỏi. Câu hỏi không yêu cầu bạn giải phương trình. Câu hỏi chỉ yêu cầu bạn làm một vài xác suất.

Vậy chúng ta hãy giải bài toán này:

Nếu Hannah lấy một chiếc kẹo từ túi trong lần lựa chọn đầu tiên, cơ hội để chiếc kẹo đó có màu cam là 6/n.

Xác suất như vậy bởi vì có 6 chiếc kẹo màu cam và có n chiếc kẹo nói chung.

Nếu Hannah lấy một chiếc kẹo từ túi trong lần thứ hai, xác xuất để chiếc kẹo đó có màu cam là 5/(n-1).

Đó là bởi vì chỉ còn lại 5 chiếc kẹo màu cam còn lại trong tổng số (n - 1) chiếc kẹo.

Xác suất để cả hai chiếc kẹo lấy từ túi đều có màu cam là xác suất lần 1 nhân với xác suất lần thứ hai. Tức là 6/n x 5/n–1

Bài toán cho chúng ta biết xác suất mà Hannah lấy được 2 chiếc kẹo màu cam là 1/3.

Do vậy: 6/n x 5/n–1 = 1/3

Và tất cả những gì chúng ta cần làm bây giờ là sắp xếp lại phương trình này.

(6x5)/n(n-1) = 30/(n² – n) = 1/3

Hay là 90/(n² – n) = 1

Tức là (n² – n) = 90

Suy ra: (n² – n – 90) = 0